Подробнее о коте Шредингера

Этот пост по сути является введением в такую востребованную дисциплину, как «квантовая механика для чайников» и это будет попыткой еще раз показать отличие квантовых вероятностей от классических. Надеюсь, что эта заметка сможет помочь какому нибудь третьекурснику разобраться в дираковских <бра| и |кет> обозначениях.



Итак, пусть имеется некая квантовая система (например, атомное ядро), которая может находиться в двух разных состояниях (|распалось>, |еще_не_распалось>). Основной постулат квантовой механики гласит о том, что если система может находиться в двух указанных выше состояниях, то она может находиться и в состоянии a|распалось> + b|еще_не_распалось>, где a и b — численные коэффициенты (возможно, комплексные). Если эта квантовая система посредством некоего устройства (ампулы с ядом) связана с котом так, что одно из состояний системы соответствует тому, что устройство не сработало и кот жив, а другое состояние системы отвечает тому, что кот мертв (ядро распалось и ампула разбилась), то и кот, таким образом, вместе запертой вместе с ним квантовой системой находится в двух состояниях одновременно. Состояние кота \ket{cat} может быть:

1) \ket{cat}=\ket{alive} — кот живой
2) \ket{cat}=\ket{dead} — кот мертвый

и, как было указано выше, кот может быть одновременно живым и мертвым:

(1)   \begin{equation*} \ket{cat}=a\ket{alive} + b\ket{dead} \end{equation*}

Где, a и b — некие комплексные числа. При этом, при «открытии коробки» (измерении состояния кота) мы обнаружим его живым с вероятностью |a|^2 и мертвым с вероятностью |b|^2. Естественно, что |a|^2 +  |b|^2 = 1. Весь этот пост посвящен тому, чтобы объяснить разницу между утверждениями:

1) Измерение состояния кота даст результат \ket{alive} с вероятностью |a|^2 и \ket{dead} с вероятностью |b|^2.
2) Кот в закрытой коробке находится в состоянии: \ket{alive} с вероятностью |a|^2 или \ket{dead} с вероятностью |b|^2 .

Быстрый ответ для тех, кому лень продираться пусть и через простую, но математику.

В первом случае («квантовая вероятность») мы можем (хотя бы чисто теоретически) измерить состояние кота в другом базисе так, чтобы отвечать не на вопрос «состояние кота живой или мертвый?», а отвечать на вопрос типа «состояние кота полуживой или полумертвый?». И если мы правильно подберем вопрос (степень полуживости или полумертвости), то мы будем получать результат со 100% вероятностью — никакой случайности в результатах измерения не останется. Во втором же варианте никаким изменением постановки вопроса добиться исчезновения случайности невозможно — это суть классическое незнание и классические вероятности.

А теперь, информация для тех, кому не лень и для вышеупомянутых третьекурсников 🙂

1. Квантовый кот.



Каждому состоянию кота \ket{cat}, \ket{alive}, \ket{dead} можно сопоставить, как бы это выразиться — «отражения» этих состояний: \bra{cat}, \bra{alive}, \bra{dead}. Как, скажем, каждому человеку можно сопоставить его отражение в зеркале и наоборот. Но в нашем случае, действуют следующие математические правила взаимодействия состояний и их «отражений» (или «отражений» других состояний). Если умножить отражение какого то состояния на другое состояние, то получится какое то число:

    \[\bra{cat}\times\ket{alive} = c\]

Здесь число c это результат умножения «отражения» состояния \ket{cat} на состояние \ket{alive}. Значок умножения \times принято не писать:

    \[\braket{cat|alive} = c\]

«Состояние» и число — это объекты разной природы, но это не должно смущать, ведь из двух векторов точно также можно получить обыкновенное число путем скалярного умножения. Если мы поменяем местами «отражение» и состояние в приведенном выше примере, то число изменится на комплексно-сопряженное (звездочка):

    \[\braket{alive|cat} = c^*\]

А если мы перемножим состояние с собственным «отражением», то получим не просто какое то число, а единицу:

(2)   \begin{equation*} \braket{alive|alive} =\braket{dead|dead}=\braket{cat|cat}=1 \end{equation*}

А если перемножим состояние и отражение «ортогонального» состояния, то получим ноль:

(3)   \begin{equation*} \braket{alive|dead} =\braket{dead|alive}=0 \end{equation*}

В этом смысле «жизнь» и «смерть» ортогональны друг другу.

Минуточку, а как расписать подробнее вид «отражения» для состояния \ket{cat}, зная как оно зависит от состояний \ket{alive} и \ket{dead}? — очень просто:
Если

    \[\ket{cat}=a\ket{alive} + b\ket{dead},\]

то

    \[\bra{cat}=a^*\bra{alive} + b^*\bra{dead}.\]

Перемножить состояние \ket{cat} (1) с собственным «отражением» тоже легко:

    \begin{multline*} \braket{cat|cat}=\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\bra{alive} + b^*\bra{dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\ket{alive} + b\ket{dead}\right)=\\ = \vphantom{\frac{1}{1}}a^*a\braket{alive|alive} + a^*b\braket{alive|dead} + b^*a\braket{dead|alive} + b^*b\braket{dead|dead} = \\ = \vphantom{\frac{1}{1}}a^*a1 + 0 + 0 + b^*b1 = |a|^2 + |b|^2 = 1 \end{multline*}

При этом были использованы соотношения (2), (3).

Итак, если состояние кота в закрытой коробке квантовое и равно \ket{cat}, то вероятность P_{alive} при открытии коробки обнаружить кота в состоянии «живой» \ket{alive} равна:

(4)   \begin{equation*} P_{alive}=|\braket{cat|alive}|^2=|\braket{alive|cat}|^2=\braket{cat|alive}\braket{alive|cat}\leq 1 \end{equation*}

При этом вероятность P_{cat} при открытии коробки обнаружить кота в его же текущем состоянии \ket{cat} равна:

    \[P_{cat}=|\braket{cat|cat}|^2=1\]

Если в закрытой коробке лежит мертвый кот, т.е. \ket{cat}=\ket{dead}, то согласно формуле (4), вероятность в этом случае обнаружить его живым при открытии коробки равна:

    \[P_{alive}=|\braket{cat|alive}|^2=|\braket{dead|alive}|^2=0\]

А если состояние кота не \ket{cat}=\ket{alive}, а \ket{cat}=-\ket{alive}, то, как легко увидеть из формулы (4), вероятность обнаружить кота живым — по прежнему 100%. Общий минус перед состоянием ни на что не влияет.

Представим себе, что из-за взаимодействия внутри коробки с квантовой системой состояние кота стало таким:

(5)   \begin{equation*}  \ket{cat} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{alive} +  \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{dead} \end{equation*}

Легко проверить, что корни из двойки взялись не просто так, а для того, чтобы все было согласовано с данными выше определениями и постулатами. Действительно:

    \[\braket{cat|cat}=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 + \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1\]

Вероятности обнаружить кота живым или мертвым равны 1/2. Используем указанное выше правило (4) и найдем вероятность обнаружить кота в состоянии (5) живым:

    \begin{multline*}  P_{alive}=|\braket{cat|alive}|^2=\left|\left(\vphantom{\frac{1}{1}} \frac{1}{\sqrt{2}}\bra{alive} +  \frac{1}{\sqrt{2}}\bra{dead} \right)\ket{alive}\right|^2= \\ = \left| \frac{1}{\sqrt{2}}\braket{alive|alive} + \frac{1}{\sqrt{2}}\braket{dead|alive}  \right|^2 = \left| \frac{1}{\sqrt{2}}1 + \frac{1}{\sqrt{2}}0  \right|^2 = \\ = \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 = \frac{1}{2} \end{multline*}

Введем следующие обозначения «полуживого» (\ket{half\,life}) и «полумертвого» (\ket{half\,dead}) кота:

(6)   \begin{equation*} \ket{half\,life} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{alive} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{dead} \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} \ket{half\,dead} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{alive} - \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{dead} \end{equation*}

Легко убедиться, что состояния \ket{half\,life} и \ket{half\,dead} ведут себя также как и \ket{alife} и \ket{dead} (см. формулы (2), (3) ):

(8)   \begin{equation*} \braket{half\,life|half\,life} = \braket{half\,dead|half\,dead} = 1 \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} \braket{half\,life|half\,dead} = \braket{half\,dead|half\,life} = 0 \end{equation*}

То есть, состояниями «полуживой» и «полумертвый» точно так же можно описывать кота, как и состояниями «живой» и «мертвый». Точно также, как в случае, когда состояние кота является «мертвый», его невозможно обнаружить в состоянии «живой», так и теперь, в случае, если состояние кота «полуживой», то имеется нулевая вероятность обнаружить его в состоянии «полумертвый». Однако, если состояние кота «мертвый», то вероятность обнаружить его в состоянии «полуживой» (или «полумертвый») равна 1/2. Если же кот находится в состоянии «полумертвый», и мы не будем измерять «жив кот или мертв», а будем измерять «полужив кот или полумертв», то мы со 100% вероятностью получим ответ «полумертв». В этом и заключается суть «квантовых» вероятностей: одно и то же состояние может давать либо разные результаты при измерениях с какими-то вероятностями, либо же один предсказуемый результат, если измерять специально подобранную величину.

Для лучшего понимания предлагаю посмотреть на картинку:



2. Обычный кот с налетом квантовости.



Въедливый читатель может задуматься, а почему это он «умножает» состояния и «отражения» так, что слева всегда идет «отражение», а состояние справа? А если написать наоборот, то что будет? Напишем наоборот:

    \[\hat C = \ket{dead}\bra{alive}\]

Вышеуказанный объект \hat C это не число, не состояние кота и не «отражение», а оператор, который можно приписать рядом с состоянием или «отражением» так, чтобы изменить состояние или «отражение» на другие. Например, было состояние кота живой \ket{alive} и на него подействовали оператором \hat C, так что получилось:

    \[\hat C\ket{alive} = \ket{dead}\bra{alive}\;\ket{alive} = \ket{dead}\braket{alive|alive} = \ket{dead}\,1 = \ket{dead}\]

Вот так, оператор \hat C убил кота (подумайте, как записать оператор, который будет наоборот «оживлять» кота?). Можно задастся вопросом, а почему мы прилепили \hat C слева от состояния \ket{alive}, а не справа? Не так:

    \[\ket{alive}\hat C = \ket{alive}\;\ket{dead}\bra{alive}\]

Дело в том, что если так написать, то мы получим два идущих подряд состояния: \ket{alive}\;\ket{dead}, а это в данной науке принимается как состояния двух разных котов. Когда мы описываем одного кота, то состояния, должны чередоваться с отражениями в произведениях. Легко понять, что оператор \hat C может менять не только состояния, но и «отражения». При этом оператор \hat C записывается справа от «отражения», на которое он действует:

    \[\bra{dead}\hat C = \bra{dead}\;\ket{dead}\bra{alive} = \braket{dead|dead}\bra{alive} = 1\, \bra{alive} = \bra{alive}\]

Заметьте, тот же самый оператор \hat C, который «убивал кота», «оживляет» «отражение» мертвого кота, превращая его в отражение живого.

Важно: оказывается, состояния можно описывать не только вот такими векторами \ket{cat}, но и операторами. Например, состоянию \ket{cat} (из формулы (1)) соответствует такой оператор:

    \[\hat \rho = \ket{cat}\bra{cat}\]

Оператор \hat\rho называется «матрица плотности». Ну да, скажете вы, что тут такого, приписали к состоянию его же «отражение» и получился оператор. И что дальше? А дальше можно заметить интересное свойство \hat\rho:

(10)   \begin{multline*} \mathrm{Tr}{\hat\rho} = \bra{dead}\hat\rho\ket{dead}+ \bra{alive}\hat\rho\ket{alive} = \\ \\ = \bra{dead}\ket{cat}\bra{cat}\ket{dead}+ \bra{alive}\ket{cat}\bra{cat}\ket{alive} = \\ = \bra{dead}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\ket{alive} + b\ket{dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\bra{alive} + b^*\bra{dead}\right)\ket{dead} + \\ + \bra{alive}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\ket{alive} + b\ket{dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\bra{alive} + b^*\bra{dead}\right)\ket{alive} = \\ = \left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\braket{dead|alive} + b\braket{dead|dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\braket{alive|dead} + b^*\braket{dead|dead}\right) + \\ + \left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\braket{alive|alive} + b\braket{alive|dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\braket{alive|alive} + b^*\braket{dead|alive}\right) = \\ = \left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\,0 + b\,1\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\,0 + b^*\,1\right) + \\ + \left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\,1 + b\,0\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\,1 + b^*\,0\right) = \\ = b^*b + a^*a = |a|^2+|b|^2=1 \end{multline*}

Точно так же, как и в случае формулы (4) высчитывать вероятности обнаружения кота живым в результате измерения его состояния. Итак, если мы знаем состояние кота, заданное матрицей плотности \hat\rho , то вероятность найти кота живым, в состоянии \ket{alive} равна:

(11)   \begin{multline*} P_{alive} = \Tr{(\hat\rho\ket{alive}\bra{alive})} = \\ =\bra{dead}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}\hat\rho \ket{alive}\bra{alive}\right)\ket{dead}+ \bra{alive}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}\hat\rho \ket{alive}\bra{alive}\right)\ket{alive} = \\ = \braket{dead|\hat\rho|alive}\braket{alive|dead} + \braket{alive|\hat\rho|alive}\braket{alive|alive} = \\ = \braket{dead|\hat\rho|alive}\, 0 + \braket{alive|\hat\rho|alive}\, 1 = \\ = \bra{alive}(\ket{cat}\bra{cat})\ket{alive} = \braket{alive|cat}\braket{cat|alive} = |\braket{cat|alive}|^2 \end{multline*}

Результат получился в точности, как в формуле (4). Ну и зачем было все это нагромождать, если результат получается таким же? А затем, что с помощью матрицы плотности можно описывать не только квантовые состояния кота, но и классические. Например, мы хотим описать состояние кота, которому соответствует фраза:

Кот в закрытой коробке находится в состоянии: \ket{alive} с вероятностью |a|^2 или \ket{dead} с вероятностью |b|^2

Это состояние не квантовое, а классическое. Кот в коробке не жив и мертв одновременно, про что рассказывалось ранее, а вполне обыденно жив или мертв, только с какой то вероятностью. Вот какая матрица плотности соответствует этому состоянию:

    \[\hat\rho = |a|^2\ket{alive}\bra{alive} + |b|^2\ket{dead}\bra{dead}\]

Сравните это выражение с матрицей плотности для квантового кота \ket{cat}\bra{cat} (формула (1)):

(12)   \begin{multline*} \hat\rho = \ket{cat}\bra{cat} =\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\ket{alive} + b\ket{dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\bra{alive} + b^*\bra{dead}\right)=\\  = |a|^2\ket{alive}\bra{alive} + ab^*\ket{alive}\bra{dead} + ba^*\ket{dead}\bra{alive} + |b|^2\ket{dead}\bra{dead} \end{multline*}

Видите, в квантовом случае матрица плотности содержит больше слагаемых, чем в классическом. Хотя, вероятность увидеть кота в состоянии \ket{alive} одинакова и равна |a|^2 для двух, описанных выше примеров. Разница состоит в том, что если в случае квантового кота можно было (хотя бы умозрительно) проводить измерение не в базисе живой/мертвый, а в базисе полуживой/полумертвый, и таким образом можно было избавиться от случайности в результатах. А в в случае классического, не квантового кота, такой финт не пройдет — вероятности и случайности никуда не денутся.

Если вам понравился материал, пожалуйста, поделитесь им с друзьями: